Théorèmes de Rolle, T.A.F et I.A.F

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❓ QCM — Rolle, T.A.F et I.A.F

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1. Le théorème de Rolle exige, sur [a, b] :

f dérivable sur [a, b] f continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et f(a) = f(b) f croissante f(a) = 0

2. La conclusion du T.A.F est : ∃ c ∈ ]a, b[ tel que

f′(c) = 0 f(b) − f(a) = (b − a) f′(c) f(c) = 0 f′(c) = f(c)

3. (Fermat) Si f a un extremum local en x₀ intérieur et est dérivable en x₀, alors :

f′(x₀) = 0 f″(x₀) = 0 f(x₀) = 0 rien

4. L'affirmation « f′(x₀) = 0 ⟹ f a un extremum en x₀ » est :

vraie fausse vraie si f continue vraie sur un fermé

5. (I.A.F) Si |f′(x)| ≤ M sur I, alors pour tous a, b ∈ I :

|f(b) − f(a)| ≤ M |b − a| |f(b) − f(a)| ≥ M |b − a| f(b) = f(a) f′ = M

6. Pour tous réels a, b, |sin a − sin b| est majoré par :

|a − b| 2 |a − b| |a − b|² 1

7. Si f′ = 0 sur un intervalle I, alors f est :

nulle constante croissante bijective

8. Le théorème de Rolle est le cas particulier du T.A.F lorsque :

a = b f(a) = f(b) f′ = 0 f paire

9. Pour f(x) = x³ sur ℝ : f′(0) = 0 et f :

a un minimum en 0 a un maximum en 0 n'a pas d'extremum en 0 n'est pas dérivable en 0

10. Pour x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) vaut :

0 π/4 π/2 π

11. Si f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3), l'équation f′(x) = 0 a :

exactement 2 racines réelles distinctes 1 racine 3 racines aucune racine

12. lim(x→0) (sin x − x) / x³ vaut :

0 − 1/6 − 1/3 + ∞

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