Problème de la semaine — Première Bac SM

Un exercice instructif chaque semaine, avec un indice — et la solution détaillée dévoilée la semaine suivante. Thèmes : logique, ensembles & applications, généralités sur les fonctions, suites & récurrence.

★ Défi de la semaine · Première Bac SM

Logique et raisonnementSemaine du 5 octobre 2026

Carrés modulo 4

1) Montrer que le carré d'un entier est congru à ou modulo .\n\n2) En déduire qu'aucun entier de la forme n'est somme des carrés de deux entiers.

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Distinguez pair / impair. Pour 2), listez les valeurs possibles de .

🔒 La solution détaillée paraîtra dans les archives la semaine prochaine. À vos crayons !

📚 Archives & solutions

Ensembles et applicationsParties de cardinal pair et impairSemaine du 28 septembre 2026

Soit un ensemble fini à éléments. Montrer que possède autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair.

💡 Indice

Fixez et considérez (différence symétrique).

Solution

Fixons (possible car ). Notons et les parties de cardinal pair et impair, et posons

change le cardinal de , donc échange parité : et .

: est une involution, donc une bijection.

réalise donc une bijection de sur : ces ensembles ont le même cardinal.

Logique et raisonnementIrrationalité de √(n/(n+1))Semaine du 21 septembre 2026

Soit . Montrer que

💡 Indice

Écrivez et raisonnez par l'absurde. Montrez d'abord que si et , alors ; puis encadrez entre deux carrés consécutifs.

Solution

Lemme : si et , alors . En effet, écrivons avec , et ; alors . Si , soit un nombre premier divisant : divise , donc divise , ce qui contredit . Donc et .

Supposons par l'absurde . Alors

donc, par le lemme, avec .

Or, pour :

soit : impossible pour un entier .

Conclusion : pour tout .

Suites & récurrenceIdentité de CassiniSemaine du 14 septembre 2026

Soit la suite de Fibonacci : , et . Montrer que pour tout ,

💡 Indice

Récurrence sur ; utilisez et dans l'hérédité.

Solution

Notons .

Initialisation : . Donc est vraie.

Hérédité : supposons . En utilisant :

Puis , d'où

Donc est vraie.

Par récurrence, est vraie pour tout .

Logique et raisonnementIrrationalité de √2 + √3Semaine du 7 septembre 2026

Montrer que le nombre est irrationnel (on admet que est irrationnel).

💡 Indice

Raisonnez par l'absurde en posant , puis élevez au carré.

Solution

Raisonnons par l'absurde : supposons .

En élevant au carré : , donc .

Comme , le membre de droite est rationnel, donc : contradiction, car est irrationnel.

Conclusion : est irrationnel.