Problème de la semaine — Terminale SM

Un exercice instructif chaque semaine, avec un indice — et la solution détaillée dévoilée la semaine suivante. Thèmes : limites & continuité, dérivabilité (Rolle, TAF), primitives, fonctions logarithme & exponentielle.

★ Défi de la semaine · Terminale SM

Dérivabilité (Rolle, TAF)Semaine du 5 octobre 2026

Les racines de la dérivée n-ième de (x²−1)ⁿ

Soit et . On note sa dérivée -ième. Montrer que possède exactement racines distinctes dans .

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et sont racines de multiplicité , donc racines de . Appliquez Rolle de manière répétée.

🔒 La solution détaillée paraîtra dans les archives la semaine prochaine. À vos crayons !

📚 Archives & solutions

PrimitivesLa série alternée de ln 2Semaine du 28 septembre 2026

Pour , on pose .

1) Montrer que et que .

2) En déduire que .

💡 Indice

Pour 2), écrivez et faites apparaître un télescopage des signes alternés.

Solution

1)
De plus sur , donc : .

2) On a . Avec :

Le coefficient de () est ; restent (coefficient ) et (coefficient ). Donc

Limites et continuitéRacines des sommes exponentielles tronquéesSemaine du 21 septembre 2026

Soit . On considère les polynômes définis par

Montrer que n'admet pas de racine réelle si est pair, et que admet une unique racine réelle si est impair.

💡 Indice

Remarquez que et pour . Raisonnez par récurrence sur en traitant ensemble les deux cas : si est impair, est strictement croissante ; si est pair, étudiez le minimum de .

Solution

Pour : et . Montrons par récurrence la propriété : « si est pair, pour tout ; si est impair, admet une unique racine réelle ».

Initialisation : .

Cas impair, en supposant ( pair) : sur , donc est continue et strictement croissante. Comme est de degré impair à coefficient dominant ,

réalise donc une bijection de sur : l'équation admet une unique solution (T.V.I. + stricte monotonie). De plus car .

Cas pair, en supposant ( impair) : est strictement croissante et s'annule uniquement en , donc est sur et sur . Ainsi admet un minimum global en , et

car est pair et . Donc pour tout : n'a pas de racine.

Par récurrence, est vraie pour tout .

Limites et continuitéÉquation fonctionnelle de CauchySemaine du 14 septembre 2026

Soit une fonction **continue** telle que pour tous réels . Montrer que pour tout .

💡 Indice

Établissez le résultat successivement pour entier, puis rationnel, puis concluez par continuité.

Solution

Notons .

donc ; et , donc est impaire.

Pour , une récurrence donne ; en particulier .

Pour () : , donc . Ainsi pour tout .

Soit et une suite de rationnels tendant vers . Par continuité, .

Donc pour tout réel .

Limites et continuitéCordes horizontales de longueur 1/nSemaine du 7 septembre 2026

Soit et une fonction continue telle que . Montrer qu'il existe tel que

💡 Indice

Posez et étudiez la somme .

Solution

Fixons et posons , continue sur . La somme aux points se télescope :

Une somme nulle ne peut avoir tous ses termes strictement positifs (ni tous strictement négatifs). Donc soit l'un des est nul, soit il en existe un et un ; dans ce cas, étant continue, le T.V.I. fournit un zéro de entre les deux abscisses.

Dans tous les cas, il existe tel que .

L'hypothèse est indispensable : par exemple n'admet aucune corde horizontale de longueur , car donnerait . (Le résultat vaut pour les longueurs , mais pas pour une longueur quelconque.)