Limites, continuité & réciproques — QCM de révision n° 2 · Sujet B

Q1

Pour calculer $\ell=\ds\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x\Bigr)$, quelle démarche est correcte ?

Capacité 1.2.1 • Niveau N2 • Type T6 (Rédaction / justification) • Notion N1Corrigé · B$\bigl(\sqrt{x+\sqrt x}-\sqrt x\bigr)\bigl(\sqrt{x+\sqrt x}+\sqrt x\bigr)=\sqrt x$, d'où l'écriture ; en divisant numérateur et dénominateur par $\sqrt x>0$, la limite vaut $\frac1{1+1}=\frac12$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\infty-\infty$ est une forme indéterminée.
C.« $\infty\times0=0$ » est faux : c'est encore une forme indéterminée.
D.le dénominateur contient deux termes voisins de $\sqrt x$ : il se comporte comme $2\sqrt x$.

▲ À retenir : Forme $\infty-\infty$ avec racines carrées : quantité conjuguée, puis terme dominant.

Q2

$\ds\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$ vaut :

Capacité 1.2.2 • Niveau N3 • Type T5 (Formule piégée) • Notions N2, N1Corrigé · AConjuguée : $\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3\bigl(\sqrt{1+\tan x}+\sqrt{1+\sin x}\bigr)}$ ; $\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}=\dfrac{\tan x}{x}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12$ ; le dénominateur restant tend vers $2$. Limite $\frac14$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.oubli du dénominateur de la conjuguée, qui tend vers $2$.
C.on a cru $\tan x-\sin x$ négligeable : il se comporte comme $\frac{x^3}2$.
D.facteur $\frac12$ compté deux fois.

▲ À retenir : Conjuguée d'abord, puis $\tan x-\sin x=\tan x\,(1-\cos x)$.

Q3

Soit $f:\R\to\R$. Une seule des affirmations suivantes est vraie. Laquelle ?

Capacité 1.2.3 • Niveau N2 • Type T4 (Assertions fines) • Notion N4Corrigé · A$\abs f=\sqrt{f^2}$ est la composée de $f^2$ (continue) par $\sqrt{\ }$ (continue sur $\R^+$) : elle est continue.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$f=1$ sur $[0,+\infty[$, $-1$ ailleurs : $\abs f=1$ continue, $f$ non.
C.$f=1$ sur $[0,+\infty[$, $0$ ailleurs : $f\circ f=1$ (car $f(0)=f(1)=1$) est continue, $f$ non.
D.$f(x)=E\bigl(x-\sqrt2\bigr)$ n'est discontinue qu'aux points $\sqrt2+k$ ($k\in\Z$), tous irrationnels.

▲ À retenir : La continuité se transmet par composition avec une fonction continue ; jamais « à rebours ».

Q4

$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ réalise une bijection de $\R$ sur $]-1,1[$. Sa réciproque est :

Capacité 1.2.6 • Niveau N2 • Type T8 (Synthèse) • Notions N9, N8Corrigé · BPour $y\in\,]-1,1[$ : $y=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Rightarrow y^2(1+x^2)=x^2\Rightarrow x^2=\frac{y^2}{1-y^2}$, et $x$ a le signe de $y$ : $x=\dfrac{y}{\sqrt{1-y^2}}$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.c'est $f$ elle-même : $f(f(1))=f\bigl(\frac1{\sqrt2}\bigr)=\frac1{\sqrt3}\neq1$.
C.toujours $\ge0$ : le signe est perdu ($f^{-1}$ est impaire).
D.c'est $\frac1f$.

▲ À retenir : Après élévation au carré, récupérer le signe grâce à la monotonie / parité.

Q5

Soit $n\ge2$ un entier et $a$ un réel. Une seule des affirmations suivantes est vraie. Laquelle ?

Capacité 1.2.7 • Niveau N2 • Type T4 (Assertions fines) • Notion N10Corrigé · A$n$ impair : $x\mapsto x^n$ est continue, strictement croissante, de limites $\mp\infty$ : bijection de $\R$ sur $\R$ ; solution $\sqrt[n]a$ si $a\ge0$, $-\sqrt[n]{-a}$ si $a<0$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.pour $a=0$, une seule solution.
C.faux si $n$ est impair : $x^3=-8$ a pour solution $-2$.
D.$\sqrt[n]a$ n'est pas défini pour $a<0$ : la solution est $-\sqrt[n]{-a}$.

▲ À retenir : $x^n=a$ : bijection si $n$ impair ; si $n$ pair, discuter le signe de $a$.

Q6

L'ensemble des réels $x\ge0$ tels que $\sqrt x<\sqrt[3]x$ est :

Capacité 1.2.7 • Niveau N2 • Type T1 (Conditions d'un théorème) • Notions N10, N11Corrigé · CLes deux membres sont $\ge0$ : l'élévation à la puissance $6$ (croissante sur $\R^+$) conserve l'ordre. $\sqrt x<\sqrt[3]x\iff x^3<x^2\iff x^2(x-1)<0\iff x\neq0$ et $x<1$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.inégalité renversée : pour $x>1$, $x^{1/2}>x^{1/3}$.
B.en $0$ il y a égalité : $0<0$ est faux.
D.$x=\frac1{64}$ : $\frac18<\frac14$.

▲ À retenir : Élever à une puissance n'est une équivalence que pour des membres positifs.

Q7

Pour laquelle des bijections $f$ de $\R$ sur $\R$ suivantes les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_{f^{-1}}$ ont-elles des points communs hors de la droite $y=x$ ?

Capacité 1.2.6 • Niveau N3 • Type T3 (Exemple / contre-exemple) • Notion N8Corrigé · A$f(x)=-x$ vérifie $f^{-1}=f$ : les deux courbes coïncident, et le point $(1,-1)$, commun, n'est pas sur $y=x$. Si $f$ est strictement croissante et $b=f(a)$, $a=f(b)$ : $a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$, soit $b<a$, absurde ; donc $a=b$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$f$ est strictement croissante : les points communs sont sur $y=x$.
C.strictement croissante : seul point commun $O$.
D.strictement croissante : points communs sur $y=x$.

▲ À retenir : $f$ croissante : $\mathcal C_f\cap\mathcal C_{f^{-1}}\subset\{y=x\}$ ; seule une $f$ décroissante peut produire d'autres points.

Q8

Soit $f:\R\to\R$ et $P$ : « $\forall A>0,\ \exists x>A,\ f(x)>A$ ». Laquelle des affirmations est vraie ?

Capacité 1.2.1 • Niveau N3 • Type T7 (Logique & quantificateurs) • Notion N3Corrigé · BPour $A>0$, prendre $x=\frac\pi2+2k\pi>A$ ($k$ assez grand) : $f(x)=x>A$. ($P$ signifie que $f$ n'est pas majorée « au voisinage de $+\infty$ », sans avoir forcément de limite.)

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$x\sin x$ vérifie $P$ sans tendre vers $+\infty$.
C.pour $A>0$, $x=A^2+A+1>A$ donne $\sqrt x>A$.
D.$f(x)=x^2$ pour $x<0$ et $-x$ pour $x\ge0$ n'est pas majorée, mais $P$ est fausse.

▲ À retenir : « $\exists x>A$ » : il suffit de valeurs isolées ; une limite exigerait « $\forall x>B$ ».

Q9

Chacune des fonctions suivantes est continue sur $]0,1[$. Pour laquelle a-t-on $f\bigl(]0,1[\bigr)=[0,1]$ ?

Capacité 1.2.4 • Niveau N3 • Type T3 (Exemple / contre-exemple) • Notion N5Corrigé · D$\abs{\sin(2\pi x)}$ vaut $0$ en $x=\frac12$ et $1$ en $x=\frac14$ ; elle est continue sur l'intervalle $]0,1[$ et à valeurs dans $[0,1]$ : son image est un intervalle contenant $0$ et $1$, donc $[0,1]$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.strictement croissante : image $]0,1[$.
B.image $\left]0,1\right]$ : $1$ atteint en $\frac12$, $0$ jamais.
C.image $[0,1[$ : $0$ atteint en $\frac12$, $1$ jamais.

▲ À retenir : Image d'un ouvert : chercher, borne par borne, si elle est atteinte.

Q10

Soit $r\in\Q^*$ et $p_r:x\mapsto x^r$ sur $]0,+\infty[$. Une seule affirmation est vraie. Laquelle ?

Capacité 1.2.7 • Niveau N3 • Type T4 (Assertions fines) • Notions N11, N8Corrigé · C$p_r$ est continue, strictement monotone (croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$), de limites $0$ et $+\infty$ (dans un ordre ou l'autre) aux bornes : bijection de $]0,+\infty[$ sur $]0,+\infty[$. Comme $(x^r)^{1/r}=x$, $p_r^{-1}=p_{1/r}$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$p_{-r}\bigl(p_r(x)\bigr)=x^{-r^2}\neq x$ : $p_{-r}=\frac1{p_r}$, pas $p_r^{-1}$.
B.faux si $r<0$ : $p_{-1}(x)=\frac1x$ décroît.
D.$p_{-1}(x)=\frac1x$ est aussi une bijection de $]0,+\infty[$ sur lui-même.

▲ À retenir : Réciproque de $x^r$ : $x^{1/r}$ ; inverse : $x^{-r}$.

Q11

Pour $x>0$, quelle justification complète (sans dérivation) de $\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2$ est correcte ?

Capacité 1.2.7 • Niveau N3 • Type T6 (Rédaction / justification) • Notion N12Corrigé · B$\arctan y$ est l'unique réel de $\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ de tangente $y$. Pour $x>0$, $\theta\in\left]0,\frac\pi2\right[$, donc $\frac\pi2-\theta$ est dans cet intervalle et a pour tangente $\frac1x$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.incomplet : il manque $\frac\pi2-\theta\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$, sans quoi $\arctan(\tan u)=u$ peut être faux.
C.$]0,\pi[\not\subset\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ : la conclusion n'est pas justifiée (il faut utiliser $x>0$).
D.cela donne seulement « somme $\equiv\frac\pi2\ [\pi]$ » : il faut encore localiser la somme (pour $x<0$ elle vaut $-\frac\pi2$).

▲ À retenir : Identifier un arctan : bonne tangente et bon intervalle.

Q12

Le réel $\theta=\arctan\dfrac12+\arctan3$ vaut :

Capacité 1.2.7 • Niveau N3 • Type T5 (Formule piégée) • Notion N12Corrigé · D$\tan\theta=\dfrac{\frac12+3}{1-\frac32}=-7$. Or $\arctan\frac12\in\left]0,\frac\pi4\right[$ et $\arctan3\in\left]\frac\pi4,\frac\pi2\right[$ ; comme $\arctan\frac12=\frac\pi2-\arctan2>\frac\pi2-\arctan3$, on a $\theta\in\left]\frac\pi2,\pi\right[$. Le réel de cet intervalle de tangente $-7$ est $\pi-\arctan7$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\tan\theta=-7$ ne suffit pas : $\theta>0$ ; comme $\frac12\cdot3>1$, il faut ajouter $\pi$.
B.erreur de signe dans $\frac{a+b}{1-ab}=\frac{7/2}{-1/2}=-7$.
C.$\arctan$ n'est pas additive : $\arctan a+\arctan b\neq\arctan(a+b)$.

▲ À retenir : Si $ab>1$ et $a>0$ : $\arctan a+\arctan b=\pi+\arctan\frac{a+b}{1-ab}$.

Q13

Laquelle des fonctions suivantes est continue sur $\R$ ? ($E$ : partie entière)

Capacité 1.2.3 • Niveau N3 • Type T3 (Exemple / contre-exemple) • Notion N4Corrigé · APosons $t=x-E(x)\in[0,1[$ et $g(t)=t(t-1)$. Sur $]n,n+1[$ la fonction est continue. En $n$ : à droite $t\to0$, limite $g(0)=0$ ; à gauche $t\to1$, limite $g(1)=0$ ; valeur $g(0)=0$. Continue en tout entier.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.en $n\in\Z$ : limite à gauche $1$, valeur $0$.
C.vaut $(-1)^n$ sur $[n,n+1[$ : saute en chaque entier.
D.en $n=2$ : limite à gauche $1\cdot1=1$, valeur $0$.

▲ À retenir : Une fonction de $x-E(x)$ est continue ssi elle prend la même valeur pour $t=0$ et $t\to1$.

Q14

Soit $f$ continue sur $\R$ telle que $\ds\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Alors, nécessairement :

Capacité 1.2.4 • Niveau N3 • Type T1 (Conditions d'un théorème) • Notion N5Corrigé · DIl existe $A>0$ tel que $f(x)>f(0)$ pour $\abs x\ge A$. Sur le segment $[-A,A]$, $f$ atteint un minimum $m=f(x_0)\le f(0)$. Hors de $[-A,A]$, $f>f(0)\ge m$. Donc $m$ est le minimum de $f$ sur $\R$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$f$ n'est pas majorée ($\lim_{+\infty}f=+\infty$).
B.$f(x)=(x-1)^2$ : $f(1)=0<f(0)=1$.
C.$f(x)=x^2(x-1)^2$ décroît, croît, décroît puis croît (deux minima, en $0$ et en $1$).

▲ À retenir : Se ramener à un segment grâce aux limites aux bornes.

Q15

Pour tout réel $a$, l'équation $x+\arctan x=a$ admet une unique solution, notée $\varphi(a)$. Laquelle des affirmations est vraie ?

Capacité 1.2.6 • Niveau N3 • Type T8 (Synthèse) • Notions N8, N6Corrigé · C$g(x)=x+\arctan x$ : continue, strictement croissante, bijection de $\R$ sur $\R$ ; $\varphi=g^{-1}$ est continue, strictement croissante, et $\lim_{+\infty}\varphi=+\infty$. Par définition $\varphi(a)+\arctan\varphi(a)=a$, donc $\varphi(a)-a=-\arctan\varphi(a)\to-\frac\pi2$ (limite d'une composée).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.signe : $\varphi(a)-a=-\arctan\varphi(a)$.
B.$\arctan\varphi(a)\to\frac\pi2$, pas $0$.
D.$\varphi=g^{-1}$ a le sens de variation de $g(x)=x+\arctan x$ (croissante).

▲ À retenir : Exploiter la relation de définition $g(\varphi(a))=a$ pour étudier $\varphi$.

Q16

La figure représente une fonction $f$ continue sur $[0,4]$ (extremums marqués). L'image $f\bigl(\left]1,4\right]\bigr)$ est :

Capacité 1.2.4 • Niveau N2 • Type T9 (Lecture de figure / tableau) • Notion N5Corrigé · DSur $]1,3]$, $f$ croît strictement de $-1$ (exclu) à $3$ : image $]-1,3]$. Sur $[3,4]$, $f$ décroît de $3$ à $1$ : image $[1,3]$. Réunion : $\left]-1,3\right]$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$-1$ n'est atteint qu'en $x=1$, exclu.
B.on a pris l'intervalle entre $f(4)$ et le maximum, en oubliant la partie $]1,3]$.
C.on a pris l'intervalle entre les valeurs aux bornes : le maximum $3$ est atteint en $3\in\left]1,4\right]$.

▲ À retenir : Une borne de l'image n'est atteinte que si elle est prise en un point de l'intervalle de départ.

Q17

On applique la dichotomie à $f(x)=x^2-3$ sur $[1,2]$ pour approcher $\sqrt3$. À l'issue de trois étapes on obtient $[a_3,b_3]$, de centre $c$. Alors :

Capacité 1.2.5 • Niveau N3 • Type T8 (Synthèse) • Notions N7, N6Corrigé · B$f(1{,}5)=-0{,}75<0$ : $[1{,}5\,;2]$. $f(1{,}75)=0{,}0625>0$ : $[1{,}5\,;1{,}75]$. $f(1{,}625)=-0{,}359375<0$ : $[1{,}625\,;1{,}75]$. Amplitude $\frac18$, centre $c=1{,}6875$ à au plus $\frac1{16}$ de $\sqrt3$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.c'est le résultat de deux étapes.
C.$f(1{,}75)>0$ et $f(2)>0$ : pas de changement de signe, $\sqrt3\notin[1{,}75\,;2]$.
D.la garantie est la demi-amplitude $\frac1{16}$ ; et de fait $\abs{1{,}6875-\sqrt3}>\frac1{32}$.

▲ À retenir : À chaque étape, garder la moitié où $f$ change de signe ; erreur du centre : demi-amplitude.

Q18

Soit $f$ définie sur $[a,b]$ et $k$ un réel. Laquelle des implications est vraie ?

Capacité 1.2.4 • Niveau N3 • Type T2 (Réciproque / équivalence) • Notion N6Corrigé · CContraposée du TVI : si $f-k$ prenait une valeur $\le0$ et une valeur $\ge0$, étant continue sur un intervalle elle s'annulerait. Donc $f-k>0$ partout ou $f-k<0$ partout.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$f$ continue décroissant de $0$ à $-1$ sur $[0,1]$ puis croissant de $-1$ à $1$ sur $[1,2]$ : unicité pour $k\in\,]0,1[$, mais $f$ n'est pas monotone.
B.$f(x)=x(1-x)$ sur $[0,1]$, $k=\frac14$.
D.sans continuité, $f$ peut sauter la valeur $k$.

▲ À retenir : Continue et sans zéro sur un intervalle $\Rightarrow$ signe constant (contraposée du TVI).

Q19

On veut $\ell=\ds\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt x}{\sqrt[4]{\sin x}}$. Quelle démarche est correcte ?

Capacité 1.2.2 • Niveau N2 • Type T1 (Conditions d'un théorème) • Notions N2, N11Corrigé · DPour $0<x<\pi$, $\sin x>0$ : $\frac{\sqrt x}{\sqrt[4]{\sin x}}=\frac{x^{1/2}}{x^{1/4}}\cdot\bigl(\frac{x}{\sin x}\bigr)^{1/4}=x^{1/4}\bigl(\frac{x}{\sin x}\bigr)^{1/4}$. $x^{1/4}\to0$ ; $\frac{x}{\sin x}\to1$ et $\sqrt[4]{\ }$ est continue en $1$, donc le second facteur tend vers $1$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.les exposants diffèrent : $\sqrt x$ face à $\sqrt[4]{\sin x}$, pas face à $\sin x$.
B.le numérateur tend aussi vers $0$ : forme $\frac00$.
C.bonne valeur, raisonnement faux : c'est une forme $\frac00$.

▲ À retenir : La limite d'une composée utilise la continuité de la fonction extérieure en la limite intérieure.

Q20

Soient $a,b$ réels. On a $\arctan a+\arctan b=\dfrac\pi2$ si et seulement si :

Capacité 1.2.7 • Niveau N3 • Type T2 (Réciproque / équivalence) • Notion N12Corrigé · CSi $a>0$ et $b=\frac1a$ : $\arctan\frac1a=\frac\pi2-\arctan a$. Réciproquement, si la somme vaut $\frac\pi2$ : $\arctan b=\frac\pi2-\arctan a\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ impose $\arctan a>0$, soit $a>0$, et $b=\tan\bigl(\frac\pi2-\arctan a\bigr)=\frac1a$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$a=b=-1$ : $ab=1$ mais la somme vaut $-\frac\pi2$.
B.condition suffisante, non nécessaire : $a=2$, $b=\frac12$ convient.
D.même contre-exemple $a=-1$ ; et $a=0$ est exclu.

▲ À retenir : $\arctan a+\arctan\frac1a=\frac\pi2$ si $a>0$, $-\frac\pi2$ si $a<0$.