Limites, continuité & réciproques — QCM de révision n° 2 · Sujet A

Q1

Pour calculer $\ell=\ds\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\sqrt[3]{x^3+x^2}-x\Bigr)$, quelle démarche est correcte ?

Capacité 1.2.1 • Niveau N2 • Type T6 (Rédaction / justification) • Notion N1Corrigé · A$a^3-b^3=x^2$. En factorisant : $a^2+ab+b^2=x^2\Bigl(\bigl(\sqrt[3]{1+\tfrac1x}\bigr)^2+\sqrt[3]{1+\tfrac1x}+1\Bigr)$, et la parenthèse tend vers $3$ (continuité de $\sqrt[3]{\ }$). Donc $\ell=\frac13$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ garde une racine cubique : cette « conjuguée » ne sert que pour les racines carrées.
C.$\infty-\infty$ est une forme indéterminée.
D.le dénominateur contient trois termes voisins de $x^2$ : il se comporte comme $3x^2$.

▲ À retenir : Racine cubique : utiliser $a-b=\dfrac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$.

Q2

$\ds\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2x)}{x\tan x}$ vaut :

Capacité 1.2.2 • Niveau N2 • Type T5 (Formule piégée) • Notion N2Corrigé · A$1-\cos(2x)=2\sin^2x$, d'où $\dfrac{1-\cos 2x}{x\tan x}=\dfrac{2\sin^2x\cos x}{x\sin x}=2\cdot\dfrac{\sin x}{x}\cdot\cos x\longrightarrow2\cdot1\cdot1=2$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.facteur $2$ oublié dans $1-\cos(2x)=2\sin^2x$.
C.on a utilisé $\frac{1-\cos u}{u^2}\to1$ au lieu de $\frac12$ (avec $u=2x$).
D.on a appliqué $\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12$ avec $u=x$ au lieu de $u=2x$.

▲ À retenir : Dans $\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12$, l'argument doit être exactement $u$.

Q3

Soit $a$ réel. Laquelle des situations suivantes est impossible ?

Capacité 1.2.3 • Niveau N2 • Type T4 (Assertions fines) • Notion N4Corrigé · DSi $f+g$ et $g$ étaient continues en $a$, alors $f=(f+g)-g$ serait continue en $a$ (différence de fonctions continues en $a$) : contradiction.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.possible : $f=E$, $g=-E$ en $a=0$.
B.possible : $f=g$ valant $1$ sur $[0,+\infty[$ et $-1$ ailleurs ; $fg=1$.
C.possible : $g=0$, donc $fg=0$.

▲ À retenir : Continue $+$ discontinue $=$ discontinue ; pour le produit, rien n'est imposé.

Q4

La restriction de $f(x)=x^2-2x$ à $I=]-\infty,1]$ est une bijection de $I$ sur $J$. Sa réciproque est définie par :

Capacité 1.2.6 • Niveau N2 • Type T8 (Synthèse) • Notion N9Corrigé · A$f(x)=(x-1)^2-1$ est continue et strictement décroissante sur $I$ (car $x-1\le0$), avec $f(1)=-1$ et $\lim_{-\infty}f=+\infty$ : $J=[-1,+\infty[$. Pour $y\in J$ : $y=(x-1)^2-1\iff(x-1)^2=1+y$ ; comme $x\le1$, $x-1=-\sqrt{1+y}$, soit $x=1-\sqrt{1+y}$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.mauvaise branche : ces valeurs sont $\ge1$, hors de $I$ (sauf $1$).
C.confusion entre $I$ et $J$ : $f^{-1}$ est définie sur $J=f(I)=[-1,+\infty[$.
D.en $x=3$ elle donne $1$, or $f(1)=-1\neq3$ (on a $f^{-1}(3)=-1$).

▲ À retenir : La branche se choisit avec $I$ ; $f^{-1}$ se définit sur $J=f(I)$.

Q5

Une seule des affirmations suivantes est vraie. Laquelle ?

Capacité 1.2.7 • Niveau N1 • Type T4 (Assertions fines) • Notion N10Corrigé · B$5$ est impair : $x\mapsto x^5$ est continue, strictement croissante, bijection de $\R$ sur $\R$ ; l'équation a une unique solution. Comme $(-2)^5=-32$, c'est $x=-2$, soit $x=-\sqrt[5]{32}$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$x^4\ge0$ : aucune solution réelle.
C.$n$ pair et $a>0$ : deux solutions, $\pm2$.
D.$x\mapsto x^3$ est injective sur $\R$ : une seule solution, $3$.

▲ À retenir : $x^n=a$ : $n$ impair $\to$ une solution ($\sqrt[n]a$ si $a\ge0$, $-\sqrt[n]{-a}$ si $a<0$) ; $n$ pair $\to$ deux ($a>0$), une ($a=0$), aucune ($a<0$).

Q6

L'ensemble des solutions de l'inéquation $\sqrt{x+3}<x+1$ est :

Capacité 1.2.7 • Niveau N2 • Type T1 (Conditions d'un théorème) • Notion N10Corrigé · CDomaine : $x\ge-3$. Si $x+1\le0$ : impossible ($\sqrt{\ }\ge0$). Si $x>-1$ : les deux membres sont positifs, et pour $A,B\ge0$, $A<B\iff A^2<B^2$ : $x+3<x^2+2x+1\iff(x-1)(x+2)>0\iff x>1$ (puisque $x>-1$).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.élévation au carré sans domaine ni condition de signe.
B.domaine respecté, mais pas le signe : pour $x=-3$, $0<-2$ est faux.
D.seule la condition de signe est gardée : pour $x=0$, $\sqrt3<1$ est faux.

▲ À retenir : $A<B\iff A^2<B^2$ n'est valable que si $A,B\ge0$.

Q7

$f(x)=-x^3$ est une bijection de $\R$ sur $\R$. Les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_{f^{-1}}$ se coupent :

Capacité 1.2.6 • Niveau N2 • Type T3 (Exemple / contre-exemple) • Notion N8Corrigé · A$M(a,b)\in\mathcal C_f\cap\mathcal C_{f^{-1}}\iff b=f(a)$ et $a=f(b)$ (car $M\in\mathcal C_{f^{-1}}\iff(b,a)\in\mathcal C_f$). Donc $b=-a^3$ et $a=-b^3=a^9$, soit $a(a^8-1)=0\iff a\in\{-1,0,1\}$. Points communs : $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,-1)$ ; seul $O$ est sur $y=x$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.on n'a résolu que $f(x)=x$ ; on oublie $(1,-1)$ et $(-1,1)$.
C.$(1,-1)$ n'est pas sur $y=x$.
D.$O(0,0)$ appartient aux deux courbes.

▲ À retenir : $f$ croissante : points communs sur $y=x$ ; $f$ décroissante : pas nécessairement.

Q8

Quelle proposition traduit « $f$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ » ?

Capacité 1.2.1 • Niveau N2 • Type T7 (Logique & quantificateurs) • Notion N3Corrigé · BOn nie « $\forall\varepsilon>0,\ \exists B>0,\ \forall x>B,\ \abs{f(x)}<\varepsilon$ » : chaque $\forall$ devient $\exists$ (et inversement), dans le même ordre, et $\abs{f(x)}<\varepsilon$ devient $\abs{f(x)}\ge\varepsilon$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.trop fort : $\sin$ ne tend pas vers $0$ mais s'annule au-delà de tout $B$.
C.$\forall\varepsilon$ non nié : vérifiée par $x\mapsto\frac1x$ (prendre $B=\frac1{2\varepsilon}$, $x=\frac1\varepsilon$), qui tend vers $0$.
D.trop fort également : $\sin$ en est encore un contre-exemple.

▲ À retenir : Nier : on échange $\forall/\exists$ sans changer l'ordre, et on nie la conclusion.

Q9

Laquelle des parties suivantes ne peut pas être l'image $f(\R)$ d'une fonction $f$ continue sur $\R$ ?

Capacité 1.2.4 • Niveau N3 • Type T3 (Exemple / contre-exemple) • Notion N5Corrigé · C$\R$ est un intervalle et $f$ est continue : $f(\R)$ est un intervalle. $[0,1]\cup[2,3]$ n'en est pas un ($\frac32$ manque entre $1$ et $2$).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.c'est l'image de $x\mapsto\frac1{1+x^2}$.
B.c'est l'image de $x\mapsto\frac{x^2}{1+x^2}$ (vaut $0$ en $0$, reste $<1$, tend vers $1$).
D.c'est l'image de $\arctan$.

▲ À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle — de nature quelconque.

Q10

Soit $x>0$. Une seule des égalités suivantes est vraie. Laquelle ?

Capacité 1.2.7 • Niveau N2 • Type T4 (Assertions fines) • Notion N11Corrigé · DExposants : $\frac23+\frac14-\frac56=\frac{8+3-10}{12}=\frac1{12}$ ; donc l'expression vaut $x^{1/12}=\sqrt[12]{x}$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$x\cdot x^{1/3}=x^{4/3}$, puis $\bigl(x^{4/3}\bigr)^{1/2}=x^{2/3}$.
B.puissance de puissance : on multiplie, $x^{1/2}$.
C.produit : on ajoute, $x^{3/4+1/4}=x$.

▲ À retenir : Produit : on ajoute les exposants ; puissance de puissance : on les multiplie.

Q11

Quelle justification de $\ds\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1$ est recevable avec les outils de ces deux chapitres ?

Capacité 1.2.7 • Niveau N2 • Type T6 (Rédaction / justification) • Notions N12, N2Corrigé · D$\dfrac{\tan t}{t}=\dfrac{\sin t}{t}\cdot\dfrac1{\cos t}\to1$, donc $\dfrac{t}{\tan t}\to1$. Le changement de variable est légitime : $\arctan$ est continue en $0$ ($t\to0$) et $t\neq0$ pour $x\neq0$ (limite d'une composée).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.une majoration seule ne donne pas la limite : il faudrait aussi une minoration tendant vers $1$.
B.$\arctan$ n'est pas linéaire : $\arctan x\neq x\arctan1$.
C.outil hors programme de la série SM : la justification n'est pas recevable.

▲ À retenir : En $0$ : $t=\arctan x$ ramène $\frac{\arctan x}{x}$ à $\frac{t}{\tan t}$.

Q12

Le réel $\theta=\arctan(-2)+\arctan(-3)$ vaut :

Capacité 1.2.7 • Niveau N3 • Type T5 (Formule piégée) • Notion N12Corrigé · C$\tan\theta=\dfrac{-2-3}{1-6}=1$. Or $-2<-1$ et $-3<-1$ donnent $\arctan(-2),\arctan(-3)\in\left]-\frac\pi2,-\frac\pi4\right[$, donc $\theta\in\left]-\pi,-\frac\pi2\right[$. Le seul réel de cet intervalle de tangente $1$ est $\frac\pi4-\pi=-\frac{3\pi}4$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\tan\theta=1$ ne suffit pas : $\theta<0$ (terme correctif $-\pi$ car $ab=6>1$ et $a<0$).
B.erreur de signe : c'est $\arctan2+\arctan3$.
D.impossible : une somme de deux éléments de $\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$ est dans $]-\pi,\pi[$.

▲ À retenir : Formule d'addition : si $ab>1$, corriger de $\pm\pi$ selon le signe de $a$.

Q13

Laquelle des fonctions suivantes est continue sur $\R$ ? ($E$ : partie entière)

Capacité 1.2.3 • Niveau N3 • Type T3 (Exemple / contre-exemple) • Notion N4Corrigé · BContinue sur chaque $]n,n+1[$ ($n\in\Z$). En $n$ : à droite $E(x)=n$ et $x-E(x)\to0$, limite $n=f(n)$ ; à gauche $E(x)=n-1$ et $x-E(x)=x-n+1\to1$, limite $n-1+1=n$. Donc continue en tout entier, donc sur $\R$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.en $1$ : limite à gauche $1\cdot0=0$, alors que $f(1)=1$.
C.elle vaut $0$ en tout entier et $-1$ ailleurs : discontinue en chaque entier.
D.en $1$ : $E(x^2)=0$ à gauche, $f(1)=1$.

▲ À retenir : Aux entiers, calculer séparément limite à gauche et limite à droite.

Q14

Soit $f$ continue sur $[0,+\infty[$ telle que $\ds\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$. Alors, nécessairement :

Capacité 1.2.4 • Niveau N3 • Type T1 (Conditions d'un théorème) • Notion N5Corrigé · BAvec $\varepsilon=1$ dans la définition de la limite : il existe $A>0$ tel que $\abs{f(x)}\le1$ pour $x\ge A$. Sur le segment $[0,A]$, $f$ continue est bornée. Donc $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$f(x)=-\frac1{1+x}$ : $\sup f=0$ n'est pas atteint.
C.$f(x)=\frac1{1+x}$ : $\inf f=0$ n'est pas atteint.
D.$f(x)=\frac{\sin x}{1+x}$ oscille indéfiniment.

▲ À retenir : Segment $\Rightarrow$ bornes atteintes ; demi-droite $+$ limite finie $\Rightarrow$ seulement bornée.

Q15

Pour tout réel $a$, l'équation $x^5+x=a$ admet une unique solution, notée $\varphi(a)$. Laquelle des affirmations est vraie ?

Capacité 1.2.6 • Niveau N3 • Type T8 (Synthèse) • Notions N8, N6Corrigé · C$g(x)=x^5+x$ est continue, strictement croissante, de limites $\mp\infty$ en $\mp\infty$ : bijection de $\R$ sur $\R$, et $\varphi=g^{-1}$. Par le théorème de la bijection, $\varphi$ est continue et strictement croissante ; $g(1)=2$ donne $\varphi(2)=1$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\varphi=g^{-1}$ a le même sens de variation que $g$.
B.confusion entre réciproque et inverse : $g^{-1}\neq\frac1g$.
D.$g(\R)=\R$ : $\varphi$ est définie sur $\R$ (par exemple $\varphi(-2)=-1$).

▲ À retenir : La solution d'une équation paramétrée $g(x)=a$ est $g^{-1}(a)$ : elle hérite de la continuité et du sens de variation.

Q16

La figure représente une fonction $f$ continue sur $[-1,3]$ (extremums marqués). L'image $f\bigl([-1,3[\bigr)$ est :

Capacité 1.2.4 • Niveau N2 • Type T9 (Lecture de figure / tableau) • Notion N5Corrigé · BSur $[-1,3[$, $f$ atteint son maximum $3$ (en $\frac12$) et son minimum $-2$ (en $2$) ; image d'un intervalle par une fonction continue, $f\bigl([-1,3[\bigr)$ est un intervalle contenant $-2$ et $3$, contenu dans $[-2,3]$ : c'est $[-2,3]$ (la valeur $f(3)=0$, exclue, est de toute façon atteinte ailleurs).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.on a pris l'intervalle entre $f(3)$ et $f(-1)$ : l'image ne se lit pas aux bornes.
C.$3$ est atteint en $\frac12\in[-1,3[$.
D.les extremums sont atteints à l'intérieur : les bornes sont incluses.

▲ À retenir : L'image se lit sur les extremums, pas sur les valeurs aux bornes.

Q17

On applique la dichotomie à $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0,1]$ ($f$ s'y annule en un unique $\alpha$). À l'issue de deux étapes on obtient $[a_2,b_2]$, et l'on approche $\alpha$ par le centre $c$ de cet intervalle. Alors :

Capacité 1.2.5 • Niveau N3 • Type T8 (Synthèse) • Notions N7, N6Corrigé · D$f\bigl(\frac12\bigr)=\frac18+\frac12-1=-\frac38<0<f(1)$ : on garde $\left[\frac12,1\right]$. $f\bigl(\frac34\bigr)=\frac{27}{64}+\frac34-1=\frac{11}{64}>0$ : on garde $\left[\frac12,\frac34\right]$ (changement de signe, TVI). Son centre $c=\frac58$ vérifie $\abs{c-\alpha}\le\frac12\cdot\frac14=\frac18$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$f\bigl(\frac34\bigr)=\frac{11}{64}>0$ et $f(1)>0$ : pas de changement de signe, $\alpha\notin\left[\frac34,1\right]$.
B.$f\bigl(\frac14\bigr)<0$ et $f\bigl(\frac12\bigr)<0$ : erreur de lecture des signes.
C.c'est le résultat d'une seule étape.

▲ À retenir : On garde la moitié où $f$ change de signe ; le centre approche $\alpha$ à $\frac{b-a}{2^{n+1}}$ près.

Q18

Soit $f$ définie sur $[0,2]$. Laquelle des implications est vraie ?

Capacité 1.2.4 • Niveau N3 • Type T2 (Réciproque / équivalence) • Notion N6Corrigé · AC'est exactement le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué sur le segment $[0,2]$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.réciproque du TVI fausse : $f(x)=x$ sur $[0,1]$, $f(x)=x-1$ sur $\left]1,2\right]$ ; $f(0)=0$, $f(2)=1$, toutes les valeurs de $[0,1]$ sont prises, mais $f$ est discontinue en $1$.
C.$f(x)=(x-1)^2$ : $f(0)f(2)=1>0$ et $f(1)=0$.
D.même contre-exemple $(x-1)^2$.

▲ À retenir : Le TVI est une implication : sa réciproque est fausse, et « $f(a)f(b)>0$ » n'exclut aucun zéro.

Q19

On veut calculer $\ell=\ds\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]x-1}{\sqrt x-1}$ en posant $t=\sqrt[6]{x}$. Quelle affirmation est correcte ?

Capacité 1.2.1 • Niveau N2 • Type T1 (Conditions d'un théorème) • Notions N1, N2Corrigé · DPour $x>0$ : $\sqrt[3]x=t^2$, $\sqrt x=t^3$. La limite d'une composée s'applique : $\sqrt[6]{\ }$ est continue en $1$ ($t\to1$) et $t\neq1$ pour $x\neq1$. Puis $\dfrac{t^2-1}{t^3-1}=\dfrac{t+1}{t^2+t+1}\to\dfrac23$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.inversion : $\sqrt[3]x=t^2$ et $\sqrt x=t^3$.
B.$\sqrt[6]1=1$ : $t\to1$, pas $0$.
C.c'est précisément pour lever la forme $\frac00$ qu'on l'effectue.

▲ À retenir : Poser $t=\sqrt[m]{x}$ avec $m$ multiple commun des indices rend toutes les racines « entières ».

Q20

Laquelle des équivalences suivantes est vraie pour tous réels $a$ et $b$ ?

Capacité 1.2.7 • Niveau N2 • Type T2 (Réciproque / équivalence) • Notions N10, N12Corrigé · C$x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\R$, donc injective : $a^3=b^3\Rightarrow a=b$ ; l'autre sens est immédiat.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\Leftarrow$ faux : $1^2=(-1)^2$.
B.$-2<1$ mais $4>1$.
D.$\tan$ n'est pas définie partout, et $\tan0=\tan\pi$ avec $0\neq\pi$.

▲ À retenir : Une fonction strictement monotone fournit des équivalences ; $x\mapsto x^2$ ou $\tan$ (sur $\R$) non.