Logique — QCM de révision n° 2 · Méthodes et pièges

Q1

Soient $a$ et $b$ deux réels. La négation de « $ab=0$ » est :

Notions : Ch1.7 — Négation d'une proposition quantifiée ; Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication)Corrigé · CUn produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $ab=0\eqv(a=0\ \text{ou}\ b=0)$. Par De Morgan : $\nnot{(a=0)\vee(b=0)}\eqv(a\neq0)\wedge(b\neq0)$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$a\neq0$ ou $b\neq0$ : $ab=0\eqv(a=0\ \text{ou}\ b=0)$ et la négation d'un « ou » est un « et » ; avec « ou », le couple $a=0$, $b=1$ vérifierait à la fois $ab=0$ et la prétendue négation.
B.$a=0$ et $b=0$ : c'est un cas particulier de $ab=0$, pas sa négation.
D.$a\neq0\imp b=0$ : elle équivaut à « $a=0$ ou $b=0$ », c'est-à-dire à $ab=0$ lui-même.

▲ À retenir : $ab\neq0\eqv(a\neq0\ \text{et}\ b\neq0)$.

Q2

Lequel des réels suivants est un contre-exemple à l'implication « $x^2\geqslant2x\imp x\geqslant2$ » ?

Notions : Ch1.12 — Exemple et contre-exemple ; Ch1.3 — Implication, conditions nécessaire / suffisante, réciproqueCorrigé · AUn contre-exemple doit rendre l'hypothèse vraie et la conclusion fausse. Pour $x=-1$ : $x^2=1\geqslant-2=2x$ (vraie) et $-1\geqslant2$ (fausse). Plus généralement, $x^2\geqslant2x\eqv x(x-2)\geqslant0\eqv(x\leqslant0\ \text{ou}\ x\geqslant2)$ : tout réel $x\leqslant0$ est un contre-exemple.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$x=1$ : $1\geqslant2$ est faux : l'hypothèse est fausse, donc l'implication est vraie pour $x=1$.
C.$x=3$ : $9\geqslant6$ et $3\geqslant2$ : hypothèse et conclusion sont vraies.
D.$x=2$ : $4\geqslant4$ et $2\geqslant2$ : hypothèse et conclusion sont vraies.

▲ À retenir : Contre-exemple à « $A(x)\imp B(x)$ » : un $x$ tel que $A(x)$ soit vraie et $B(x)$ fausse.

Q3

La phrase « tout réel positif est le carré d'un réel » se traduit par :

Notions : Ch1.6 — Quantificateurs et ordre des quantificateurs ; Ch1.1 — Propositions et fonctions propositionnellesCorrigé · B« Tout réel positif » : $\forall x\in\R^+$ ; « est le carré d'un réel » : il existe $y\in\R$ tel que $x=y^2$ (par exemple $y=\sqrt x$, qui dépend de $x$).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\exists y\in\R,\ \forall x\in\R^+,\ x=y^2$ : un même $y$ devrait convenir pour tous les $x$ : ce n'est pas le sens de la phrase (et c'est faux).
C.$\forall y\in\R,\ \exists x\in\R^+,\ x=y^2$ : cette proposition dit que le carré de tout réel est positif : autre énoncé (vrai, mais différent).
D.$\forall x\in\R,\ \exists y\in\R^+,\ x=y^2$ : les ensembles sont échangés : on affirmerait que tout réel, même négatif, est un carré.

▲ À retenir : Traduire : l'objet sur lequel porte « tout » reçoit le premier quantificateur ; celui dont on affirme l'existence vient ensuite.

Q4

On donne ci-dessous la table de vérité d'une proposition $R$ construite à partir de $P$ et $Q$. Laquelle des propositions suivantes peut être $R$ ?

$P$	$Q$	$R$
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	V

Notions : Ch1.2 — Connecteurs et tables de vérité ; Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication)Corrigé · D$R$ n'est fausse que lorsque $P$ et $Q$ sont toutes deux vraies : $R\eqv\nnot{P\wedge Q}\eqv\nnot P\vee\nnot Q$ (loi de De Morgan).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\nnot P\wedge\nnot Q$ : elle n'est vraie que sur la dernière ligne.
B.$\nnot P\imp Q$ : elle équivaut à $P\vee Q$ : vraie sur la première ligne, fausse sur la dernière.
C.$P\eqv\nnot Q$ : elle est fausse sur la dernière ligne ($P$ et $\nnot Q$ y ont des valeurs différentes).

▲ À retenir : Une colonne ne contenant qu'un seul F se lit comme la négation de la ligne correspondante.

Q5

Soit $n\in\N$. Pour démontrer « si $n^2$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $3$ », quelle démarche est correcte ?

Notions : Ch1.9 — Raisonnement par contraposée ; Ch1.11 — Raisonnement par disjonction des casCorrigé · BOn démontre la contraposée « $n$ non multiple de $3$ $\imp$ $n^2$ non multiple de $3$ », par disjonction des cas. Si $n=3k+1$ : $n^2=3(3k^2+2k)+1$. Si $n=3k+2$ : $n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$. Dans les deux cas, $n^2$ s'écrit $3m+1$, donc n'est pas multiple de $3$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.Écrire $n^2=3k$, d'où $n=\sqrt{3k}=\sqrt3\,\sqrt k$, multiple de $3$ : $\sqrt3\,\sqrt k$ n'est pas, en général, un entier multiple de $3$ : le raisonnement ne prouve rien.
C.Montrer que si $n=3k$, alors $n^2=9k^2$ est un multiple de $3$ : c'est la réciproque de l'implication demandée.
D.Vérifier la propriété pour $n=0,1,\dots,9$ : des exemples ne prouvent pas un énoncé portant sur tous les entiers.

▲ À retenir : Pour une conclusion « $n$ multiple de $3$ », la contraposée fournit les écritures $n=3k+1$, $n=3k+2$, faciles à exploiter.

Q6

Soient $P$, $Q$, $R$ trois propositions. La proposition $\nnot{\big(P\imp(Q\imp R)\big)}$ est équivalente à :

Notion : Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication)Corrigé · COn applique deux fois $\nnot{(A\imp B)}\eqv A\wedge\nnot B$ : $\nnot{\big(P\imp(Q\imp R)\big)}\eqv P\wedge\nnot{(Q\imp R)}\eqv P\wedge(Q\wedge\nnot R)$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\nnot P\vee\nnot Q\vee R$ : c'est $P\imp(Q\imp R)$ elle-même, non sa négation.
B.$P\wedge(Q\imp\nnot R)$ : la négation de $Q\imp R$ est $Q\wedge\nnot R$, pas $Q\imp\nnot R$.
D.$\nnot P\imp(\nnot Q\wedge\nnot R)$ : on ne nie pas une implication en niant ses deux membres ; pour $P$ vraie, $Q$ et $R$ fausses, cette proposition est vraie alors que la négation cherchée est fausse.

▲ À retenir : La négation d'une implication n'est jamais une implication : $\nnot{(A\imp B)}\eqv A\wedge\nnot B$.

Q7

L'ensemble des solutions dans $\R$ de l'équation $|x|+|x-2|=2$ est :

Notions : Ch1.11 — Raisonnement par disjonction des cas ; Ch1.8 — Raisonnement direct et équivalences successivesCorrigé · BDisjonction des cas. Si $x<0$ : $-x+2-x=2\eqv x=0$, exclu. Si $0\leqslant x\leqslant2$ : $x+(2-x)=2$, toujours vrai. Si $x>2$ : $2x-2=2\eqv x=2$, exclu. Réunion : $S=[0\,;2]$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\{0\,;\,2\}$ : dans le cas $0\leqslant x\leqslant2$, l'équation se réduit à $2=2$ : tous les réels de l'intervalle sont solutions, pas seulement les bornes.
C.$\varnothing$ : $x=1$ vérifie $1+1=2$.
D.$\{1\}$ : $x=0$ est aussi solution : $0+2=2$.

▲ À retenir : Dans une disjonction des cas, l'équation peut devenir une égalité toujours vraie sur tout un intervalle.

Q8

Soit $P(n)$ une propriété de l'entier $n\geqslant1$. On sait que $P(1)$ est vraie et que, pour tout entier $n\geqslant3$, $P(n)\imp P(n+1)$. Que peut-on affirmer ?

Notions : Ch1.13 — Raisonnement par récurrence ; Ch1.12 — Exemple et contre-exempleCorrigé · DLa propriété « $n=1$ » vérifie les hypothèses : $P(1)$ est vraie et, pour $n\geqslant3$, $P(n)$ est fausse, donc $P(n)\imp P(n+1)$ est vraie. Or elle est fausse pour tout $n\geqslant2$. On ne peut donc rien affirmer au-delà de $P(1)$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant1$ : l'hérédité n'est pas établie pour $n=1$ et $n=2$ : la chaîne est rompue entre $P(1)$ et $P(3)$.
B.$P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant3$ : aucune initialisation n'est disponible au rang $3$ ou au-delà.
C.$P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant2$ dès que $P(2)$ est vraie : l'implication $P(2)\imp P(3)$ ne fait pas partie des hypothèses.

▲ À retenir : L'initialisation doit se faire à un rang à partir duquel l'hérédité est établie.

Q9

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-2x$. Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

Notions : Ch1.6 — Quantificateurs et ordre des quantificateurs ; Ch1.12 — Exemple et contre-exempleCorrigé · BForme canonique : $f(x)=(x-1)^2-1\geqslant-1$ pour tout réel $x$. Donc $m=-1$ convient.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\forall m\in\R,\ \exists x\in\R,\ f(x)<m$ : c'est la négation de la bonne réponse ; pour $m=-1$, aucun $x$ ne vérifie $f(x)<-1$.
C.$\exists M\in\R,\ \forall x\in\R,\ f(x)\leqslant M$ : pour $M$ donné, $x=|M|+3$ donne $f(x)=x(x-2)\geqslant x>M$.
D.$\forall x\in\R,\ \exists y\in\R,\ f(y)<f(x)$ : fausse pour $x=1$ : $f(1)=-1$ est la plus petite valeur de $f$.

▲ À retenir : « $\exists m\ \forall x,\ f(x)\geqslant m$ » : un même $m$ pour tous les $x$ ; on le trouve ici par la forme canonique.

Q10

On veut démontrer par l'absurde qu'il n'existe aucun couple $(a,b)\in\Z^2$ tel que $a^2=4b+2$. Laquelle des rédactions suivantes est correcte ?

Notions : Ch1.10 — Raisonnement par l'absurde ; Ch1.7 — Négation d'une proposition quantifiéeCorrigé · ALa rédaction correcte suppose la négation exacte (« il existe un couple… »), raisonne sur ce couple quelconque et aboutit à une contradiction explicite : $2(k^2-b)$ est pair, $1$ est impair. Le passage « $a^2$ pair $\imp$ $a$ pair » se justifie par contraposée (le carré d'un impair est impair).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.Supposons que pour tout $(a,b)\in\Z^2$, $a^2\neq4b+2$ ; alors aucun couple ne convient, ce qu'il fallait démontrer : on suppose la conclusion au lieu de sa négation : raisonnement circulaire.
C.Pour $a\in\{0,1,2,3\}$, $a^2-2$ n'est jamais un multiple de $4$ ; donc aucun couple ne convient : quatre valeurs de $a$ ne couvrent pas $\Z$ : un « il n'existe pas » ne se démontre pas par quelques exemples.
D.Supposons $a^2=4b+2$ ; pour $a=2$, on obtient $b=\frac12\notin\Z$ : contradiction : seule la valeur $a=2$ est examinée : la contradiction doit être obtenue pour un couple quelconque.

▲ À retenir : Par l'absurde : supposer la négation exacte, raisonner sur un objet quelconque, aboutir à une contradiction explicite.

Q11

Un élève résout dans $\R^*$ l'inéquation $\dfrac1x\leqslant x$ en écrivant : $\dfrac1x\leqslant x\eqv1\leqslant x^2$. Quel est l'ensemble correct des solutions ?

Notions : Ch1.8 — Raisonnement direct et équivalences successives ; Ch1.11 — Raisonnement par disjonction des casCorrigé · D$\frac1x\leqslant x\eqv x-\frac1x\geqslant0\eqv\frac{(x-1)(x+1)}{x}\geqslant0$. Un tableau de signes (valeurs critiques $-1$, $0$, $1$) montre que ce quotient est positif ou nul sur $[-1\,;0[$ et sur $[1\,;+\infty[$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$]-\infty\,;-1]\cup[1\,;+\infty[$ : c'est le résultat de l'élève : multiplier par $x$ ne donne une équivalence que si $x>0$ ; pour $x<0$, le sens de l'inégalité change.
B.$[1\,;+\infty[$ : les réels négatifs sont oubliés : $x=-\frac12$ donne $-2\leqslant-\frac12$, vrai.
C.$]-\infty\,;-1]\cup\,]0\,;1]$ : c'est l'ensemble des solutions de $\frac1x\geqslant x$ : l'inégalité a été renversée partout.

▲ À retenir : On ne multiplie une inégalité par une expression que si son signe est connu ; sinon, on passe tout dans un membre et l'on étudie le signe.

Q12

Laquelle des propriétés suivantes est vraie pour tout entier naturel $n$ ?

Notions : Ch1.13 — Raisonnement par récurrence ; Ch1.12 — Exemple et contre-exempleCorrigé · ARécurrence. Pour $n=0$ : $4^0-1=0$, divisible par $3$. Si $4^n-1=3k$ ($k\in\N$), alors $4^{n+1}-1=4(4^n-1)+3=3(4k+1)$. Donc $3$ divise $4^n-1$ pour tout $n\in\N$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$3$ divise $4^n+1$ : elle est héréditaire ($4^{n+1}+1=4(4^n+1)-3$) mais jamais initialisée : $4^0+1=2$ ; elle est même fausse pour tout $n$, puisque $4^n+1=(4^n-1)+2$.
C.$5$ divise $4^n-1$ : pour $n=1$ : $4-1=3$.
D.$3$ divise $2^n+1$ : pour $n=0$ : $2$ ; pour $n=2$ : $5$.

▲ À retenir : Une propriété héréditaire peut être fausse partout : l'initialisation n'est jamais une formalité.

Q13

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$. Quelle est la négation de « $\exists T>0,\ \forall x\in\R,\ f(x+T)=f(x)$ » ?

Notion : Ch1.7 — Négation d'une proposition quantifiéeCorrigé · COn échange chaque quantificateur en conservant les domaines ($T>0$, $x\in\R$), puis on nie l'égalité : $\nnot{\big(\exists T>0,\ \forall x,\ f(x+T)=f(x)\big)}\eqv\forall T>0,\ \exists x,\ f(x+T)\neq f(x)$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\forall T\leqslant0,\ \exists x\in\R,\ f(x+T)\neq f(x)$ : la condition « $T>0$ » accompagne le quantificateur et ne se nie pas : la négation porte encore sur les $T>0$.
B.$\exists T>0,\ \exists x\in\R,\ f(x+T)\neq f(x)$ : le premier quantificateur n'a pas été échangé.
D.$\forall T>0,\ \forall x\in\R,\ f(x+T)\neq f(x)$ : le second quantificateur n'a pas été échangé : c'est beaucoup plus fort que la négation.

▲ À retenir : Dans « $\exists T>0$ », la condition $T>0$ fait partie du quantificateur : elle n'est pas niée.

Q14

Laquelle des affirmations suivantes est fausse ?

Notions : Ch1.12 — Exemple et contre-exemple ; Ch1.3 — Implication, conditions nécessaire / suffisante, réciproqueCorrigé · BContre-exemple : $x=-\frac12$. Alors $x^3=-\frac18>-\frac12=x$ (hypothèse vraie), mais $x>1$ est faux. En effet, $x^3>x\eqv x(x-1)(x+1)>0\eqv x\in\,]-1\,;0[\,\cup\,]1\,;+\infty[$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\forall x\in\R,\ \big(x^2<x\imp0<x<1\big)$ : elle est vraie : $x^2<x\eqv x(x-1)<0\eqv0<x<1$.
C.$\forall x\in\R,\ \big(x>1\imp x^3>x\big)$ : elle est vraie : si $x>1$, alors $x^3-x=x(x-1)(x+1)>0$.
D.$\forall x\in\R,\ \big(x^2\geqslant1\imp|x|\geqslant1\big)$ : elle est vraie : $x^2=|x|^2$ et, pour des réels positifs, $|x|^2\geqslant1\eqv|x|\geqslant1$.

▲ À retenir : Une implication « évidente » se teste sur les réels négatifs et sur $]-1\,;1[$.

Q15

Soient $P$ et $Q$ deux propositions. La proposition $(P\wedge Q)\vee(\nnot P\wedge Q)\vee(P\wedge\nnot Q)$ est équivalente à :

Notions : Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication) ; Ch1.2 — Connecteurs et tables de véritéCorrigé · APar distributivité : $(P\wedge Q)\vee(\nnot P\wedge Q)\eqv(P\vee\nnot P)\wedge Q\eqv Q$. L'expression devient $Q\vee(P\wedge\nnot Q)\eqv(Q\vee P)\wedge(Q\vee\nnot Q)\eqv P\vee Q$. (Lecture directe : l'expression n'est fausse que si $P$ et $Q$ sont fausses.)

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$P\wedge Q$ : fausse pour $P$ vraie et $Q$ fausse, alors que le troisième terme rend l'expression vraie.
C.$Q$ : le terme $P\wedge\nnot Q$ est oublié : pour $P$ vraie et $Q$ fausse, l'expression est vraie.
D.$\nnot P\imp\nnot Q$ : elle équivaut à $P\vee\nnot Q$ : vraie pour $P$ et $Q$ fausses, alors que l'expression est fausse.

▲ À retenir : Une disjonction des « lignes vraies » d'une table se simplifie par distributivité.

Q16

Soit $m$ un réel. Une condition nécessaire et suffisante pour que « $\forall x\in\R,\ x^2+mx+1>0$ » soit vraie est :

Notions : Ch1.4 — Équivalence ; Ch1.3 — Implication, conditions nécessaire / suffisante, réciproque ; Ch1.6 — Quantificateurs et ordre des quantificateursCorrigé · CLe trinôme $x^2+mx+1$ (coefficient de $x^2$ égal à $1>0$) est strictement positif sur $\R$ si et seulement si son discriminant est strictement négatif : $\Delta=m^2-4<0\eqv-2<m<2$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$m\in[-2\,;2]$ : pour $m=2$ : $x^2+2x+1=(x+1)^2$ s'annule en $x=-1$ ; l'inégalité stricte n'est pas vérifiée partout.
B.$m>-2$ : pour $m=3$, le trinôme prend des valeurs négatives : en $x=-1$, $1-3+1=-1$.
D.$m\in\,]0\,;2[$ : condition suffisante mais non nécessaire : $m=-1$ convient aussi.

▲ À retenir : Une « condition nécessaire et suffisante » exige une équivalence : une condition seulement suffisante, ou seulement nécessaire, ne convient pas.

Q17

Pour démontrer « pour tout entier $n\geqslant4$, $2^n\geqslant n^2$ », un élève rédige l'hérédité ainsi : « Supposons $2^n\geqslant n^2$. Alors $2^{n+1}=2\cdot2^n\geqslant2n^2\geqslant(n+1)^2$. » Que faut-il ajouter pour que la démonstration soit complète et correcte ?

Notion : Ch1.13 — Raisonnement par récurrenceCorrigé · DPour $n\geqslant4$ : $2n^2-(n+1)^2=n^2-2n-1=(n-1)^2-2\geqslant9-2>0$. L'hérédité est donc valable pour $n\geqslant4$ ; avec l'initialisation $P(4)$ : $16\geqslant16$, la récurrence est complète.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.Rien : la rédaction est complète : l'inégalité $2n^2\geqslant(n+1)^2$ n'est pas justifiée (elle est fausse pour $n=1$ et $n=2$) et l'initialisation manque.
B.Justifier $2n^2\geqslant(n+1)^2$ pour tout $n\in\N$ : elle est fausse pour $n=1$ ($2<4$) : elle n'est utilisable que pour $n$ assez grand.
C.Vérifier seulement $P(0)$, puisque $2^0\geqslant0^2$ : initialiser au rang $0$ ne convient pas : l'hérédité n'est établie que pour $n\geqslant3$, et $P(3)$ ($8\geqslant9$) est d'ailleurs fausse.

▲ À retenir : Chaque inégalité utilisée dans l'hérédité doit être justifiée pour les valeurs de $n$ concernées.

Q18

Une fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-3\,;3]$ ; sa courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée en entier ci-dessous, et les points marqués sont exacts. Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

Notions : Ch1.6 — Quantificateurs et ordre des quantificateurs ; Ch1.1 — Propositions et fonctions propositionnellesCorrigé · ALe point le plus haut de la courbe est $(-1{,}5\ ;\ 2{,}5)$. Avec $a=-1{,}5$, on a $f(x)\leqslant2{,}5=f(a)$ pour tout $x\in[-3\,;3]$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$\forall a\in[-3\,;3],\ \exists x\in[-3\,;3],\ f(x)>f(a)$ : c'est la négation de la bonne réponse : pour $a=-1{,}5$, aucun $x$ ne vérifie $f(x)>2{,}5$.
C.$\forall x\in[-3\,;3],\ f(x)\geqslant0$ : $f(0)=-1<0$.
D.$\forall y\in[-1\,;3],\ \exists x\in[-3\,;3],\ f(x)=y$ : $y=3$ n'est atteint par aucun $x$ : $f$ ne dépasse pas $2{,}5$.

▲ À retenir : « $\exists a\ \forall x,\ f(x)\leqslant f(a)$ » : la courbe possède un point au moins aussi haut que tous les autres.

Q19

Soit $x$ un réel. Laquelle des implications suivantes est vraie et a une réciproque fausse ?

Notions : Ch1.3 — Implication, conditions nécessaire / suffisante, réciproque ; Ch1.4 — Équivalence ; Ch1.12 — Exemple et contre-exempleCorrigé · C$|x-1|<1\eqv0<x<2$ et $x^2<4x\eqv x(x-4)<0\eqv0<x<4$. Comme $]0\,;2[\,\subset\,]0\,;4[$, l'implication est vraie ; sa réciproque est fausse ($x=3$).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$x^2=x\imp x=1$ : l'implication elle-même est fausse : $x=0$.
B.$x^2<4x\imp|x-1|<1$ : elle est fausse : $x=3$ vérifie $9<12$ mais $|3-1|=2$.
D.$0<x<4\imp x^2<4x$ : elle est vraie, mais sa réciproque l'est aussi : $x^2<4x\eqv x(x-4)<0\eqv0<x<4$.

▲ À retenir : Implication vraie : les solutions de l'hypothèse sont toutes solutions de la conclusion ; équivalence : les deux ensembles de solutions sont égaux.

Q20

Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}$. Laquelle des formules suivantes est vraie pour tout $n\in\N^*$ ?

Notions : Ch1.13 — Raisonnement par récurrence ; Ch1.12 — Exemple et contre-exempleCorrigé · DRécurrence. Pour $n=1$ : $S_1=\frac12=\frac{1}{1+1}$. Si $S_n=\frac{n}{n+1}$, alors $S_{n+1}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$S_n=\dfrac{1}{n+1}$ : juste pour $n=1$ seulement : $S_2=\frac23\neq\frac13$. Une vérification au premier rang ne suffit pas (l'hérédité échoue).
B.$S_n=\dfrac{n+1}{n+2}$ : pour $n=1$ : $\frac23\neq\frac12=S_1$.
C.$S_n=\dfrac{2n}{n+1}$ : pour $n=1$ : $1\neq\frac12=S_1$.

▲ À retenir : Initialisation et hérédité : une formule juste au rang $1$ peut être fausse dès le rang $2$.