Logique — QCM de révision n° 1 · Cours sous tension

Q1

Parmi les énoncés suivants, lequel est une proposition ?

Notion : Ch1.1 — Propositions et fonctions propositionnellesCorrigé · BUne proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux. « $\exists x\in\R,\ x^2+1=0$ » est un énoncé dont la variable est quantifiée ; il est faux, car $x^2+1\geqslant1>0$ pour tout réel $x$. Être fausse n'empêche pas d'être une proposition : c'est précisément avoir une valeur de vérité.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.« $x^2-1=0$ », où $x$ désigne un réel non précisé : sa valeur de vérité dépend de $x$ (vraie pour $x=\pm1$, fausse sinon) : c'est une fonction propositionnelle, pas une proposition.
C.« $x^2+1$ », où $x$ désigne un réel : c'est une expression, pas un énoncé affirmatif : elle n'est ni vraie ni fausse.
D.« Le nombre $10^{100}+1$ est-il premier ? » : une question n'a pas de valeur de vérité.

▲ À retenir : Une proposition fausse reste une proposition ; c'est une variable libre (non quantifiée) qui empêche un énoncé d'en être une.

Q2

Soient $P$ et $Q$ deux propositions. On sait que l'implication $Q\imp P$ est fausse. Que peut-on affirmer de l'implication $P\imp Q$ ?

Notion : Ch1.3 — Implication, conditions nécessaire / suffisante, réciproqueCorrigé · DUne implication n'est fausse que dans un seul cas : prémisse vraie et conclusion fausse. Donc « $Q\imp P$ fausse » impose $Q$ vraie et $P$ fausse. L'implication $P\imp Q$ a alors une prémisse fausse : elle est vraie.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.Elle est fausse : confusion entre une implication et sa réciproque, qui n'ont pas en général la même valeur de vérité (ici, elles ont même des valeurs opposées).
B.On ne peut rien affirmer sans connaître $P$ et $Q$ : on les connaît : $Q\imp P$ fausse impose $Q$ vraie et $P$ fausse.
C.Elle est vraie si et seulement si $P$ est vraie : $P$ est fausse ici ; d'ailleurs, lorsque $P$ est vraie, $P\imp Q$ a la valeur de vérité de $Q$, non de $P$.

▲ À retenir : « $A\imp B$ est fausse » fournit deux informations : $A$ est vraie et $B$ est fausse.

Q3

On considère les propositions $P$ : « $2$ est premier » et $Q$ : « $2$ est pair ». Quelle est la valeur de vérité de $(P\vee Q)\wedge\nnot{P\wedge Q}$ ?

Notion : Ch1.2 — Connecteurs et tables de véritéCorrigé · A$P$ et $Q$ sont vraies ($2$ est le seul nombre premier pair). Donc $P\vee Q$ est vraie, $P\wedge Q$ est vraie et $\nnot{P\wedge Q}$ est fausse. Une conjonction dont un facteur est faux est fausse. (Cette formule traduit le « ou exclusif » : « l'un ou l'autre, mais pas les deux ».)

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.Vraie, car le « ou » mathématique est exclusif : le « ou » mathématique est inclusif ; de toute façon, la valeur se calcule avec les tables de vérité.
C.Vraie, car $P\vee Q$ est vraie : oubli du second facteur de la conjonction : $\nnot{P\wedge Q}$ est fausse.
D.Ce n'est pas une proposition : $P$ et $Q$ sont des propositions ; toute combinaison de propositions par des connecteurs en est une.

▲ À retenir : Le connecteur $\vee$ est inclusif ; le « ou exclusif » s'écrit $(P\vee Q)\wedge\nnot{P\wedge Q}$.

Q4

Quelle est la négation de la proposition « $\forall x\in\R,\ \exists n\in\Z,\ n\leqslant x<n+1$ » ?

Notions : Ch1.7 — Négation d'une proposition quantifiée ; Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication)Corrigé · D« $n\leqslant x<n+1$ » est la conjonction $(n\leqslant x)\wedge(x<n+1)$. On échange $\forall$ et $\exists$ dans l'ordre, puis on nie la conjonction par De Morgan : $\nnot{(n\leqslant x)\wedge(x<n+1)}\eqv(n>x)\vee(x\geqslant n+1)$. (La proposition de départ est vraie — tout réel est compris entre deux entiers consécutifs —, donc sa négation est fausse.)

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\exists x\in\R,\ \forall n\in\Z,\ (n>x\ \text{et}\ x\geqslant n+1)$ : la négation d'une conjonction est une disjonction (De Morgan) : « et » devait devenir « ou ».
B.$\forall x\in\R,\ \exists n\in\Z,\ (n>x\ \text{ou}\ x\geqslant n+1)$ : les quantificateurs n'ont pas été échangés.
C.$\exists x\in\R,\ \forall n\in\Z,\ (n\geqslant x\ \text{ou}\ x>n+1)$ : la négation de $n\leqslant x$ est $n>x$ et celle de $x<n+1$ est $x\geqslant n+1$ : les cas d'égalité sont mal placés.

▲ À retenir : Nier : échanger les quantificateurs dans l'ordre, puis nier la fin ; un encadrement $a\leqslant x<b$ se nie en « $x<a$ ou $x\geqslant b$ ».

Q5

Soit $x$ un réel. La condition « $x^2>4$ » est, pour « $x>2$ », une condition :

Notion : Ch1.3 — Implication, conditions nécessaire / suffisante, réciproqueCorrigé · B« $Q$ est nécessaire pour $P$ » signifie $P\imp Q$. Ici $x>2\imp x^2>4$ est vraie (si $x>2>0$, alors $x^2>2x>4$) : « $x^2>4$ » est nécessaire. Elle n'est pas suffisante, car $x^2>4\imp x>2$ est fausse : pour $x=-3$, $x^2=9>4$ mais $x\leqslant2$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.suffisante mais non nécessaire : inversion des rôles : c'est « $x>2$ » qui est suffisante pour « $x^2>4$ ».
C.nécessaire et suffisante : la réciproque $x^2>4\imp x>2$ est fausse : contre-exemple $x=-3$.
D.ni nécessaire ni suffisante : elle est nécessaire, car $x>2\imp x^2>4$ est vraie.

▲ À retenir : Si $P\imp Q$ est vraie : $P$ est suffisante pour $Q$, et $Q$ est nécessaire pour $P$.

Q6

Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

Notions : Ch1.6 — Quantificateurs et ordre des quantificateurs ; Ch1.12 — Exemple et contre-exempleCorrigé · CSoit $a\in\Z$ ; on choisit $b=a+1$ (qui dépend de $a$) : $a+b=2a+1$ est impair. L'ordre « $\forall a\ \exists b$ » autorise ce choix de $b$ en fonction de $a$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\exists b\in\Z,\ \forall a\in\Z,\ a+b\ \text{est impair}$ : un même $b$ ne convient pas pour tous les $a$ : $a+b$ et $(a+1)+b$ n'ont pas la même parité.
B.$\forall a\in\Z,\ \exists b\in\Z,\ ab\ \text{est impair}$ : contre-exemple $a=2$ : $2b$ est pair pour tout entier $b$.
D.$\exists a\in\Z,\ \forall b\in\Z,\ ab\ \text{est impair}$ : pour $b=0$, $ab=0$ est pair, quel que soit $a$.

▲ À retenir : Dans « $\forall a\ \exists b$ », $b$ peut dépendre de $a$ ; dans « $\exists b\ \forall a$ », un même $b$ doit convenir à tous les $a$.

Q7

Pour tout réel $x$, la proposition « $x\neq1$ ou $x>3$ » est équivalente à :

Notion : Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication)Corrigé · ALoi logique : $(A\imp B)\eqv(\nnot A\vee B)$. Avec $A$ : « $x=1$ » et $B$ : « $x>3$ », on a $\nnot A$ : « $x\neq1$ », d'où : « $x\neq1$ ou $x>3$ » $\eqv$ « $x=1\imp x>3$ ». (Les deux propositions sont fausses pour $x=1$ et vraies pour tout autre réel.)

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$x\neq1\imp x>3$ : « $\nnot A\imp B$ » équivaut à « $A\vee B$ », non à « $\nnot A\vee B$ » ; pour $x=0$, elle est fausse alors que la proposition de départ est vraie.
C.$x>3\imp x=1$ : elle équivaut à « $x\leqslant3$ ou $x=1$ » ; pour $x=4$, elle est fausse alors que la proposition de départ est vraie.
D.$x\leqslant3\imp x=1$ : elle équivaut à « $x>3$ ou $x=1$ » ; pour $x=0$, elle est fausse alors que la proposition de départ est vraie.

▲ À retenir : « non $A$ ou $B$ » se lit « si $A$, alors $B$ ».

Q8

Pour démontrer par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant n_0$, l'étape d'hérédité consiste à :

Notion : Ch1.13 — Raisonnement par récurrenceCorrigé · DL'hérédité est la proposition $\forall n\geqslant n_0,\ \big(P(n)\imp P(n+1)\big)$. Pour la démontrer, on fixe un entier $n\geqslant n_0$ arbitraire, on suppose $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence) et l'on démontre $P(n+1)$ ; comme $n$ est quelconque, l'implication vaut pour tout $n\geqslant n_0$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.supposer $P(n)$ vraie pour tout $n\geqslant n_0$, puis en déduire $P(n+1)$ : supposer $P(n)$ pour tout $n$, c'est supposer ce qu'on veut démontrer : raisonnement circulaire.
B.trouver un entier $n\geqslant n_0$ pour lequel $P(n)\imp P(n+1)$ est vraie : l'implication doit être établie pour tout $n\geqslant n_0$, pas pour un seul.
C.montrer que, pour tout $n>n_0$, $P(n)$ entraîne $P(n-1)$ : c'est une « descente » : elle ne transmet pas la vérité de $P(n_0)$ aux rangs suivants.

▲ À retenir : Hypothèse de récurrence : « supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n\geqslant n_0$ fixé », jamais « pour tout $n$ ».

Q9

Laquelle des propositions suivantes est vraie quelles que soient les propositions $P$, $Q$, $R$ ?

Notions : Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication) ; Ch1.2 — Connecteurs et tables de véritéCorrigé · AAvec $(A\imp B)\eqv(\nnot A\vee B)$ : $P\imp(Q\imp R)\eqv\nnot P\vee\nnot Q\vee R$, et $(P\wedge Q)\imp R\eqv\nnot{P\wedge Q}\vee R\eqv\nnot P\vee\nnot Q\vee R$ (De Morgan). Les deux membres coïncident : c'est une loi logique (ce que confirme une table de vérité à $8$ lignes).

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$\big(P\imp(Q\imp R)\big)\eqv\big((P\imp Q)\imp R\big)$ : fausse lorsque $P$, $Q$, $R$ sont toutes fausses : le membre de gauche est vrai, celui de droite vaut « vrai $\imp$ faux », donc faux. L'implication n'est pas associative.
C.$\big((P\imp Q)\imp P\big)\eqv Q$ : $(P\imp Q)\imp P$ équivaut à $P$ ; la formule se ramène à $P\eqv Q$, fausse pour $P$ vraie et $Q$ fausse.
D.$(P\vee Q)\imp(P\wedge Q)$ : fausse pour $P$ vraie et $Q$ fausse.

▲ À retenir : « Si $P$, alors (si $Q$ alors $R$) » équivaut à « si $P$ et $Q$, alors $R$ » ; mais l'implication n'est pas associative.

Q10

Pour résoudre dans $[-2\,;+\infty[$ l'équation $\sqrt{x+2}=x$, un élève écrit :$\sqrt{x+2}=x\eqv x+2=x^2\eqv x^2-x-2=0\eqv(x=-1\ \text{ou}\ x=2)$ et conclut que l'ensemble des solutions est $\{-1\,;\,2\}$. Que faut-il en penser ?

Notions : Ch1.8 — Raisonnement direct et équivalences successives ; Ch1.4 — ÉquivalenceCorrigé · CÉlever au carré ne donne qu'une implication : $a=b\imp a^2=b^2$. Pour obtenir une équivalence, il faut savoir que les deux membres sont positifs. Rédaction correcte : $\sqrt{x+2}=x\eqv\big(x\geqslant0\ \text{et}\ x+2=x^2\big)\eqv\big(x\geqslant0\ \text{et}\ (x=-1\ \text{ou}\ x=2)\big)\eqv x=2$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.Tout est correct : $S=\{-1\,;\,2\}$ : $x=-1$ donne $\sqrt1=1\neq-1$ : ce n'est pas une solution.
B.La 3^e équivalence est fausse ; en réalité $S=\varnothing$ : la factorisation $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ est juste, et $x=2$ convient : $\sqrt4=2$.
D.La 1^re équivalence est fausse ; il faut $x\leqslant0$, d'où $S=\{-1\}$ : une racine carrée est positive : la condition à ajouter est $x\geqslant0$, et $-1$ ne vérifie pas l'équation.

▲ À retenir : $\sqrt A=B\eqv\big(B\geqslant0\ \text{et}\ A=B^2\big)$ : sans la condition $B\geqslant0$, la chaîne d'équivalences est rompue.

Q11

Soient $x$ et $y$ deux réels. Quelle est la contraposée de l'implication « $(x\neq1\ \text{et}\ y\neq1)\imp x+y-xy\neq1$ » ?

Notions : Ch1.9 — Raisonnement par contraposée ; Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication)Corrigé · DLa contraposée de $A\imp B$ est $\nnot B\imp\nnot A$. Ici $\nnot B$ : « $x+y-xy=1$ » et, par De Morgan, $\nnot A$ : « $x=1$ ou $y=1$ ». Elle est d'ailleurs vraie : $x+y-xy-1=-(x-1)(y-1)$, donc $x+y-xy=1\eqv(x-1)(y-1)=0$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$x+y-xy=1\imp(x=1\ \text{et}\ y=1)$ : la négation de « $x\neq1$ et $y\neq1$ » est « $x=1$ ou $y=1$ » (De Morgan), pas « et ».
B.$(x=1\ \text{ou}\ y=1)\imp x+y-xy=1$ : c'est la contraposée de la réciproque : elle équivaut à la réciproque, pas à l'implication.
C.$x+y-xy\neq1\imp(x\neq1\ \text{et}\ y\neq1)$ : c'est la réciproque : hypothèse et conclusion ont été échangées sans être niées.

▲ À retenir : Contraposer, c'est échanger et nier ; la négation d'un « et » est un « ou ».

Q12

Pour démontrer par l'absurde que « pour tout réel $x>0$, $x+\dfrac1x\geqslant2$ », on commence par supposer :

Notions : Ch1.10 — Raisonnement par l'absurde ; Ch1.7 — Négation d'une proposition quantifiéeCorrigé · BOn suppose la négation exacte : $\exists x>0,\ x+\frac1x<2$. Pour un tel $x$, en multipliant par $x>0$ : $x^2+1<2x$, soit $(x-1)^2<0$, ce qui est absurde. Donc la propriété est vraie.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.que pour tout réel $x>0$, $x+\dfrac1x<2$ : la négation d'un « pour tout » est un « il existe ».
C.qu'il existe un réel $x>0$ tel que $x+\dfrac1x\leqslant2$ : la négation de « $\geqslant$ » est « $<$ » ; avec « $\leqslant$ », on n'aboutirait à aucune contradiction ($x=1$ donne l'égalité).
D.qu'il existe un réel $x\leqslant0$ tel que $x+\dfrac1x<2$ : on nie la propriété, pas le domaine : $x$ reste dans $]0\,;+\infty[$.

▲ À retenir : Par l'absurde, on suppose la négation exacte de la conclusion : quantificateur échangé, domaine conservé, inégalité stricte.

Q13

Soient $P$, $Q$, $R$ trois propositions. Le principe du raisonnement par disjonction des cas permet d'affirmer que $R$ est vraie dès que :

Notion : Ch1.11 — Raisonnement par disjonction des casCorrigé · CSi $P\vee Q$ est vraie, l'une au moins des propositions $P$, $Q$ est vraie ; dans chaque cas, l'implication correspondante donne $R$. C'est la loi $\big[(P\imp R)\wedge(Q\imp R)\big]\imp\big[(P\vee Q)\imp R\big]$, appliquée avec $P\vee Q$ vraie.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$P\imp R$ et $Q\imp R$ sont vraies : les cas doivent être exhaustifs : si $P$ et $Q$ sont fausses, les deux implications sont vraies et $R$ peut être fausse.
B.$P\imp R$ et $P\vee Q$ sont vraies : le cas $Q$ n'est pas traité : $P$ fausse, $Q$ vraie et $R$ fausse rendent ces hypothèses vraies.
D.$P\imp R$ et $\nnot P\imp Q$ sont vraies : on ne sait rien de $R$ lorsque $P$ est fausse ($P$ fausse, $Q$ vraie, $R$ fausse).

▲ À retenir : Une disjonction des cas n'est valable que si les cas recouvrent toutes les situations.

Q14

Pour $n\in\N$, on considère la propriété $P(n)$ : « $2^n>2n+1$ ». Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

Notions : Ch1.13 — Raisonnement par récurrence ; Ch1.12 — Exemple et contre-exempleCorrigé · D$P(0)$, $P(1)$, $P(2)$ sont fausses ; $P(3)$ : $8>7$ est vraie. Hérédité pour $n\geqslant1$ : si $2^n>2n+1$, alors $2^{n+1}=2\cdot2^n>4n+2=(2n+3)+(2n-1)\geqslant2n+3=2(n+1)+1$, car $2n-1\geqslant1>0$. Par récurrence à partir du rang $3$, $P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant3$, et fausse pour $n\leqslant2$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$P(n)$ est vraie pour tout $n\in\N$, par récurrence : $P(0)$ : $1>1$ est fausse, de même que $P(1)$ ($2>3$) et $P(2)$ ($4>5$).
B.$P(n)$ est fausse pour tout $n$, puisque $P(0)$ est fausse : une initialisation qui échoue au rang $0$ n'empêche pas $P(n)$ d'être vraie à partir d'un autre rang.
C.$P(n)$ est vraie pour tout $n\geqslant2$ : $P(2)$ : $4>5$ est fausse.

▲ À retenir : On initialise au premier rang où la propriété est vraie, à condition que l'hérédité soit établie à partir de ce rang.

Q15

Pour $x$ et $y$ dans $E=\{1,2,3\}$, le tableau ci-dessous donne la valeur de vérité de $P(x,y)$ (ligne $x$, colonne $y$). Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

$P(x,y)$	$y=1$	$y=2$	$y=3$
$x=1$	V	V	F
$x=2$	F	F	V
$x=3$	F	V	F

Notions : Ch1.6 — Quantificateurs et ordre des quantificateurs ; Ch1.1 — Propositions et fonctions propositionnellesCorrigé · A« $\forall x\ \exists y$ » signifie : chaque ligne contient au moins un V. Ligne $x=1$ : $y=1$ ; ligne $x=2$ : $y=3$ ; ligne $x=3$ : $y=2$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.$\exists x\in E,\ \forall y\in E,\ P(x,y)$ : il faudrait une ligne entièrement composée de V : il n'y en a pas.
C.$\exists y\in E,\ \forall x\in E,\ P(x,y)$ : il faudrait une colonne entièrement composée de V : il n'y en a pas.
D.$\exists x\in E,\ \forall y\in E,\ \nnot{P(x,y)}$ : il faudrait une ligne entièrement composée de F : il n'y en a pas.

▲ À retenir : $\forall x\ \exists y$ : un V dans chaque ligne ; $\exists x\ \forall y$ : une ligne pleine de V ; $\exists y\ \forall x$ : une colonne pleine de V.

Q16

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$. Quelle est la négation de « $\forall x\in\R,\ \forall y\in\R,\ \big(x<y\imp f(x)\leqslant f(y)\big)$ » (c'est-à-dire « $f$ est croissante sur $\R$ ») ?

Notions : Ch1.7 — Négation d'une proposition quantifiée ; Ch1.5 — Lois logiques (De Morgan, contraposée, négation d'une implication)Corrigé · COn échange les deux quantificateurs $\forall$ en $\exists$, puis on applique $\nnot{(A\imp B)}\eqv A\wedge\nnot B$ avec $A$ : $x<y$ et $B$ : $f(x)\leqslant f(y)$, dont la négation est $f(x)>f(y)$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\forall x\in\R,\ \forall y\in\R,\ \big(x<y\imp f(x)>f(y)\big)$ : c'est « $f$ est strictement décroissante » : une fonction non croissante n'est pas forcément décroissante (exemple : $x\mapsto x^2$).
B.$\exists x\in\R,\ \exists y\in\R,\ \big(x\geqslant y\ \text{et}\ f(x)>f(y)\big)$ : on ne nie pas l'hypothèse d'une implication : $\nnot{(A\imp B)}\eqv A\wedge\nnot B$.
D.$\exists x\in\R,\ \exists y\in\R,\ \big(x<y\ \text{et}\ f(x)\geqslant f(y)\big)$ : la négation de $f(x)\leqslant f(y)$ est $f(x)>f(y)$ ; avec « $\geqslant$ », une fonction constante (qui est croissante) vérifierait la prétendue négation.

▲ À retenir : « Non croissante » ne signifie pas « décroissante » : il suffit d'un couple $x<y$ tel que $f(x)>f(y)$.

Q17

On sait que la proposition $P\eqv Q$ est fausse. Laquelle des propositions suivantes est alors nécessairement vraie ?

Notions : Ch1.4 — Équivalence ; Ch1.2 — Connecteurs et tables de véritéCorrigé · B« $P\eqv Q$ est fausse » signifie que $P$ et $Q$ ont des valeurs de vérité différentes. Alors $P$ et $\nnot Q$ ont la même valeur de vérité, donc $P\eqv\nnot Q$ est vraie.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.$\nnot{P\vee Q}$ : $P$ et $Q$ ayant des valeurs différentes, l'une est vraie : $P\vee Q$ est vraie et sa négation est fausse.
C.$\nnot P\eqv\nnot Q$ : loi logique : $(\nnot P\eqv\nnot Q)\eqv(P\eqv Q)$ ; elle est donc fausse.
D.$P\imp Q$ : fausse lorsque $P$ est vraie et $Q$ fausse, cas compatible avec l'hypothèse.

▲ À retenir : $\nnot{(P\eqv Q)}\eqv(P\eqv\nnot Q)$.

Q18

On considère l'affirmation : « pour tout entier naturel $n$, le nombre $n^2+n+41$ est premier ». Laquelle des réponses suivantes est correcte ?

Notions : Ch1.12 — Exemple et contre-exemple ; Ch1.6 — Quantificateurs et ordre des quantificateursCorrigé · APour $n=40$ : $40^2+40+41=40\times41+41=41\times41=41^2$, qui n'est pas premier. Un seul contre-exemple suffit à réfuter un « pour tout ».

Pourquoi les autres propositions sont fausses

B.Elle est vraie : on le vérifie pour $n=0,1,\dots,10$ : des exemples, même nombreux, ne prouvent pas un « pour tout ».
C.Elle est fausse : $n=10$ est un contre-exemple : $10^2+10+41=151$ est premier (non divisible par $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, et $13^2>151$) : ce n'est pas un contre-exemple.
D.Elle est fausse : $n=1$ est un contre-exemple : $1+1+41=43$ est premier.

▲ À retenir : Réfuter un « $\forall$ » : un contre-exemple suffit. Le démontrer : un raisonnement général, jamais une liste d'exemples.

Q19

Pour un réel $c$ et un entier $n\geqslant1$, on note $P_c(n)$ : « $1+2+\cdots+n=\dfrac{n^2+n+c}{2}$ ». Pour quelle(s) valeur(s) de $c$ la propriété $P_c(n)$ est-elle vraie pour tout entier $n\geqslant1$ ?

Notions : Ch1.13 — Raisonnement par récurrence ; Ch1.4 — ÉquivalenceCorrigé · CHérédité (pour tout $c$) : si $1+\cdots+n=\frac{n^2+n+c}{2}$, alors $1+\cdots+(n+1)=\frac{n^2+n+c}{2}+n+1=\frac{n^2+3n+2+c}{2}=\frac{(n+1)^2+(n+1)+c}{2}$. Initialisation : $P_c(1)\eqv1=\frac{2+c}{2}\eqv c=0$. Si $c\neq0$, $P_c(1)$ est fausse ; si $c=0$, initialisation et hérédité donnent $P_0(n)$ pour tout $n\geqslant1$.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.Pour tout réel $c$, car l'hérédité est vraie quel que soit $c$ : l'hérédité seule ne prouve rien : il faut aussi l'initialisation.
B.Pour $c=2$ seulement : $P_2(1)$ s'écrit $1=\frac{1+1+2}{2}=2$ : elle est fausse.
D.Pour aucune valeur de $c$ : $c=0$ convient : c'est la somme des $n$ premiers entiers.

▲ À retenir : L'hérédité peut être vraie pour toute une famille de formules : c'est l'initialisation qui sélectionne la bonne.

Q20

Soit $n\in\N$. On veut démontrer : « si $n^2-1$ n'est pas divisible par $8$, alors $n$ est pair ». Quelle démarche est correcte ?

Notions : Ch1.9 — Raisonnement par contraposée ; Ch1.11 — Raisonnement par disjonction des cas ; Ch1.8 — Raisonnement direct et équivalences successivesCorrigé · BLa contraposée est « $n$ impair $\imp$ $8$ divise $n^2-1$ ». Si $n=2k+1$ : $n^2-1=4k^2+4k=4k(k+1)$. Or $k(k+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, donc pair : $k(k+1)=2m$, d'où $n^2-1=8m$. La contraposée étant vraie, l'implication l'est aussi.

Pourquoi les autres propositions sont fausses

A.Par l'absurde : on suppose $n$ pair et $n^2-1$ non divisible par $8$, et l'on cherche une contradiction : la négation de l'implication est « $n^2-1$ non divisible par $8$ et $n$ impair » : c'est cela qu'il faut supposer.
C.Par disjonction des cas : on montre que $n^2-1$ n'est divisible par $8$ ni pour $n$ pair, ni pour $n$ impair : c'est faux pour $n$ impair (par exemple $n=3$ : $n^2-1=8$).
D.Directement : $n^2-1=(n-1)(n+1)$ n'est pas divisible par $8$, donc $n-1$ et $n+1$ sont impairs, donc $n$ est pair : le passage « non divisible par $8$, donc $n-1$ et $n+1$ impairs » est précisément ce qu'il fallait démontrer : il n'est pas justifié.

▲ À retenir : Quand la conclusion est « $n$ pair », sa négation « $n=2k+1$ » fournit une écriture exploitable : pensez à la contraposée.